异或（XOR）运算详解

1. 定义与基本概念

异或（XOR，全称“Exclusive OR”）是一种逻辑运算，其规则为：当两个输入值不输出为1；当两个输入值相输出为0。
数学表达式：
[ A \oplus B = (A \land \neg B) \lor (\neg A \land B) ]
（即：A为真且B为假，或A为假且B为真）

2. 运算规则表

| 输入A | 输入B | 输出（A XOR B） |
|-------|-------|-----------------|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

3. 核心特性

• 无进位加法：异或等价于二进制加法（不考虑进位）。
  示例：1 XOR 1 = 0（1+1=10，取个位0）。
• 自反性：A XOR A = 0，A XOR 0 = A。
• 交换律与结合律：A XOR B = B XOR A，(A XOR B) XOR C = A XOR (B XOR C)。

4. 应用场景

1. 加密与解密

   • 简单加密：明文与密钥异或生成密文，密文再与密钥异或还原明文。
     示例：明文1010，密钥1100 → 密文0110；密文0110 XOR 密钥1100 → 明文1010。
   • 一次性密码本：利用异或的对称性和随机性实现安全通信。

2. 错误检测与校正

   • 奇偶校验：通过异或计算数据位的校验位，检测单比特错误。
     示例：数据1101，校验位为1 XOR 1 XOR 0 XOR 1 = 1，附加后传输11011。

3. 数据交换（无临时变量）

   • 利用异或交换两个变量的值：

     a = 5  # 二进制 0101
     b = 3  # 二进制 0011
     a = a ^ b  # a = 0110 (6)
     b = a ^ b  # b = 0101 (5)
     a = a ^ b  # a = 0011 (3)
     

4. 位掩码操作

   • 翻转特定位：通过异或1翻转目标位。
     示例：1010 XOR 0010 = 1000（翻转第二位）。
   • 清除特定位：通过异或0保留原值。
     示例：1010 XOR 0000 = 1010。

5. 与其他逻辑运算的对比

| 运算 | 规则 | 示例（A=1, B=0） |
|--------|-------------------------------|------------------|
| AND | 两者均为1时输出1 | 0 |
| OR | 至少一个为1时输出1 | 1 |
| XOR | 两者不同时输出1 | 1 |
| XNOR | 两者相同时输出1（XOR的反） | 0 |

6. 扩展：多比特异或

• 逐位运算：对两个二进制数的每一位分别异或。
  示例：1101 XOR 1011 = 0110。
• 用途：哈希函数、伪随机数生成等。

7. 编程实现示例（Python）

```python

单比特异或

print(1 ^ 0) # 输出 1

多比特异或

a = 0b1101 # 十进制 13
b = 0b1011 # 十进制 11
print(bin(a ^ b)) # 输出 0b110 (十进制 6)

加密解密示例

plaintext = 0b1010 # 明文
key = 0b1100 # 密钥
ciphertext = plaintext ^ key # 加密
print(bin(ciphertext)) # 输出 0b110
decrypted = ciphertext ^ key # 解密
print(bin(decrypted)) # 输出 0b1010
```

8. 注意事项

• 不可逆性：单独异或结果无法还原原始数据（需密钥）。
• 安全性：简单异或加密易被破解，需结合其他方法（如AES）。

异或运算以其独特的“异则真”特性，在加密、数据交换、错误检测等领域广泛应用。理解其核心规则与特性，可帮助解决许多底层逻辑问题。